Sistema Decimal
Según los antropólogos, el origen del sistema decimal está en los diez dedos que tienen los hombres en las manos que siempre han servido como base para contar.
Escritura decimal
Cronología
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Año
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Acontecimiento
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III milenio a.C.
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Los egipcios utilizan un sistema decimal no posicional.
Otras culturas de mesopotamia (Sumeria, Babilonia, ...) utilizaban un sistema posicional sexagesimal.
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Antes de 1350
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hacia -600
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hacia -500
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Registros en sánscrito.
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Excepto en ciertas culturas, es el sistema usado habitualmente en todo el mundo y en todas las áreas que requieren de un sistema de numeración. Sin embargo hay ciertas técnicas, como por ejemplo en la informática, donde se utilizan sistemas de numeración adaptados al método del binario o el hexadecimal.
Al ser posicional, el sistema decimal es un sistema de numeración en el cual el valor de cada dígito depende de su posición dentro del número. Al primero corresponde el lugar de las unidades, el dígito se multiplica por
(es decir 1) ; el siguiente las decenas (se multiplica por 10); centenas (se multiplica por 100); etc.
Se puede extender este método para los decimales, utilizando las potencias negativas de diez, y un separador decimal entre la parte entera y la parte fraccionaria.
Sistema Hexadecimal
En principio, dado que el sistema usual de numeración es de base decimal y, por ello, sólo se dispone de diez dígitos, se adoptó la convención de usar las seis primeras letras del alfabeto latino para suplir los dígitos que nos faltan. El conjunto de símbolos sería, por tanto, el siguiente:
Se debe notar que A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14 y F = 15. En ocasiones se emplean letras minúsculas en lugar de mayúsculas. Como en cualquier sistema de numeración posicional, el valor numérico de cada dígito es alterado dependiendo de su posición en la cadena de dígitos, quedando multiplicado por una cierta potencia de la base del sistema, que en este caso es 16. Por ejemplo: 3E0A16 = 3×163 + E×162 + 0×161 + A×160 = 3×4096 + 14×256 + 0×16 + 10×1 = 15882.
El sistema hexadecimal actual fue introducido en el ámbito de la computación por primera vez por IBM en 1963. Una representación anterior, con 0–9 y u–z, fue usada en 1956por la computadora Bendix G-15.
Tabla de conversión entre decimal, binario, octal y hexadecimal
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0hex
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=
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0dec
|
=
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0oct
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0
|
0
|
0
|
0
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1hex
|
=
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1dec
|
=
|
1oct
|
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0
|
0
|
0
|
1
|
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2hex
|
=
|
2dec
|
=
|
2oct
|
|
0
|
0
|
1
|
0
|
|
|
3hex
|
=
|
3dec
|
=
|
3oct
|
|
0
|
0
|
1
|
1
|
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4hex
|
=
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4dec
|
=
|
4oct
|
|
0
|
1
|
0
|
0
|
|
|
5hex
|
=
|
5dec
|
=
|
5oct
|
|
0
|
1
|
0
|
1
|
|
|
6hex
|
=
|
6dec
|
=
|
6oct
|
|
0
|
1
|
1
|
0
|
|
|
7hex
|
=
|
7dec
|
=
|
7oct
|
|
0
|
1
|
1
|
1
|
|
|
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|
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8hex
|
=
|
8dec
|
=
|
10oct
|
|
1
|
0
|
0
|
0
|
|
|
9hex
|
=
|
9dec
|
=
|
11oct
|
|
1
|
0
|
0
|
1
|
|
|
Ahex
|
=
|
10dec
|
=
|
12oct
|
|
1
|
0
|
1
|
0
|
|
|
Bhex
|
=
|
11dec
|
=
|
13oct
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|
1
|
0
|
1
|
1
|
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Chex
|
=
|
12dec
|
=
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14oct
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1
|
1
|
0
|
0
|
|
|
Dhex
|
=
|
13dec
|
=
|
15oct
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|
1
|
1
|
0
|
1
|
|
|
Ehex
|
=
|
14dec
|
=
|
16oct
|
|
1
|
1
|
1
|
0
|
|
|
Fhex
|
=
|
15dec
|
=
|
17oct
|
|
1
|
1
|
1
|
1
|
|
|
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|
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Fracciones
Como el único factor primo de 16 es 2, todas las fracciones que no tengan una potencia de 2 en el denominador, tendrán un desarrollo hexadecimal periódico.
Fracción
|
Hexadecimal
|
Resultado en hexadecimal
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1/2
|
1/2
|
0,8
|
1/3
|
1/3
|
0,5 periodo
|
1/4
|
1/4
|
0,4
|
1/6
|
1/6
|
0,2A periodo
|
1/7
|
1/7
|
0,249 periodo
|
1/8
|
1/8
|
0,2
|
1/9
|
1/9
|
0,1C7 periodo
|
1/10
|
1/A
|
0,19 periodo
|
1/11
|
1/B
|
0,1745D periodo
|
1/12
|
1/C
|
0,15 periodo
|
1/13
|
1/D
|
0,13B periodo
|
1/14
|
1/E
|
0,1249 periodo
|
1/15
|
1/F
|
0,1 periodo
|
1/16
|
1/10
|
0,1
|
Existe un sistema para convertir números fraccionarios a hexadecimal de una forma más mecánica. Se trata de convertir la parte entera con el procedimiento habitual y convertir la parte decimal aplicando sucesivas multiplicaciones por 16 hasta convertir el resultado en un número entero.
Por ejemplo: 0,06640625 en base decimal.
Multiplicado por 16: 1,0625, el primer decimal será 1. Volvemos a multiplicar por 16 la parte decimal del anterior resultado: 1. Por lo tanto el siguiente decimal será un1.Resultado: 0,11 en base hexadecimal. Como el último resultado se trata de un entero, hemos acabado la conversión.
Hay ocasiones en las que no llegamos nunca a obtener un número entero, en ese caso tendremos un desarrollo hexadecimal periódico
Sistema octal
En informática a veces se utiliza la numeración octal en vez de la hexadecimal. Tiene la ventaja de que no requiere utilizar otros símbolos diferentes de los dígitos. Sin embargo, para trabajar con bytes o conjuntos de ellos, asumiendo que un byte es una palabra de 8 bits, suele ser más cómodo el sistema hexadecimal, por cuanto todo byte así definido es completamente representable por dos dígitos hexadecimales.
Métodos de conversión
Decimal
Para convertir un número en base decimal a base octal se divide dicho número entre 8, dejando el residuo y dividiendo el cociente sucesivamente por 8 hasta obtener residuo 0, luego los restos de las divisiones leídos en orden inverso indican el número en octal.
Para pasar de base 8 a base decimal, solo hay que multiplicar cada cifra por 8 elevado a la posición de la cifra, y sumar el resultado.
Binario
Es más fácil pasar de binario a octal, porque solo hay que agrupar de 3 en 3 los dígitos binarios, así, el número 74 (en decimal) es 1001010 (en binario), lo agruparíamos como 1 / 001 / 010, después obtenemos el número en decimal de cada uno de los números en binario obtenidos: 1=1, 001=1 y 010=2. De modo que el número decimal 74 en octal es 112.
Sistema de numeración octal
El sistema de numeración octal es un sistema de numeración en base 8, una base que es potencia exacta de 2 o de la numeración binaria. Esta característica hace que la conversión a binario o viceversa sea bastante simple. El sistema octal usa 8 dígitos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7) y tienen el mismo valor que en el sistema de numeración decimal.
El teorema fundamental aplicado al sistema octal sería el siguiente:
Como el sistema de numeración octal usa la notación posicional entonces para el número 3452,32 tenemos que: 2*80 + 5*81 + 4*82 + 3*83 + 3*8-1 + 2*8-2 = 2 + 40 + 4*64 + 3*512 + 3*0,125 + 2*0,015625 = 2 + 40 + 256 + 1536 + 0,375 + 0,03125 = 1834 + 0,40625d
Entonces, 3452,32q = 1834,40625d
El sub índice "q" indica número octal, se usa la letra q para evitar confusión entre la letra 'o' y el número 0. En informática, a veces se utiliza la numeración octal en vez de la hexadecimal. Tiene la ventaja de que no requiere utilizar otros símbolos diferentes de los dígitos. Es posible que la numeración octal se usara en el pasado en lugar de la decimal, por ejemplo, para contar los espacios interdigitales o los dedos distintos de los pulgares.
Es utilizado como una forma abreviada de representar números binarios que emplean caracteres de seis bits. Cada tres bits (medio carácter) es convertido en un único dígito octal (del griego oktō 'ocho') Esto es muy importante por eso.
Fracciones
La numeración octal es tan buena como la binaria y la hexadecimal para operar con fracciones, puesto que el único factor primo para sus bases es 2. Todas las fracciones que tengan un denominador distinto de una potencia de 2 tendrán un desarrollo octal periódico.
Fracción
|
Octal
|
Resultado en octal
|
1/2
|
1/2
|
0,4
|
1/3
|
1/3
|
0,25252525 periódico
|
1/4
|
1/4
|
0,2
|
1/5
|
1/5
|
0,14631463 periódico
|
1/6
|
1/6
|
0,125252525 periódico
|
1/7
|
1/7
|
0,111111 periódico
|
1/8
|
1/10
|
0,1
|
1/9
|
1/11
|
0,07070707 periódico
|
1/10
|
1/12
|
0,063146314 periódico
|
Tabla de conversión entre decimal, binario, hexadecimal y octal
Decimal
|
Binario
|
Hexadecimal
|
octal
|
0
|
00000
|
0
|
0
|
1
|
00001
|
1
|
1
|
2
|
00010
|
2
|
2
|
3
|
00011
|
3
|
3
|
4
|
00100
|
4
|
4
|
5
|
00101
|
5
|
5
|
6
|
00110
|
6
|
6
|
7
|
00111
|
7
|
7
|
8
|
01000
|
8
|
10
|
9
|
01001
|
9
|
11
|
10
|
01010
|
A
|
12
|
11
|
01011
|
B
|
13
|
12
|
01100
|
C
|
14
|
13
|
01101
|
D
|
15
|
14
|
01110
|
E
|
16
|
15
|
01111
|
F
|
17
|
16
|
10000
|
10
|
20
|
17
|
10001
|
11
|
21
|
18
|
10010
|
12
|
22
|
19
|
10011
|
13
|
23
|
20
|
10100
|
14
|
24
|
21
|
10101
|
15
|
25
|
22
|
10110
|
16
|
26
|
23
|
10111
|
17
|
27
|
24
|
11000
|
18
|
30
|
25
|
11001
|
19
|
31
|
26
|
11010
|
1A
|
32
|
27
|
11011
|
1B
|
33
|
28
|
11100
|
1C
|
34
|
29
|
11101
|
1D
|
35
|
30
|
11110
|
1E
|
36
|
31
|
11111
|
1F
|
37
|
32
|
100000
|
20
|
40
|
33
|
100001
|
21
|
41
|